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复数矩阵附录极大线性无关组向量叉积
复数矩阵
矩阵
A
A
A 的元素
a
i
j
∈
C
a_{ij}\in\Complex
aij∈C ，称为复矩阵。现将实数矩阵的一些概念推广到复数矩阵，相应的一些性质在复数矩阵同样适用。
定义：设复矩阵
A
=
(
a
i
j
)
m
×
n
A=(a_{ij})_{m\times n}
A=(aij)m×n
矩阵
A
ˉ
=
(
a
i
j
‾
)
\bar A=(\overline{a_{ij}})
Aˉ=(aij) 称为矩阵
A
A
A 的共轭矩阵.矩阵
A
H
=
A
ˉ
T
A^H=\bar A^T
AH=AˉT 称为矩阵
A
A
A 的共轭转置，又叫Hermite转置。若
A
H
=
A
A^H=A
AH=A，则称
A
A
A 为 Hermitian 矩阵，是实数域对称阵的推广。若
A
H
A
=
A
A
H
=
I
A^HA=AA^H=I
AHA=AAH=I，即
A
−
1
=
A
H
A^{-1}=A^H
A−1=AH ，则称
A
A
A 为酉矩阵(unitary matrix)，是实数域正交阵的推广。复向量长度
∥
z
∥
2
=
∣
z
1
∣
2
+
∣
z
1
∣
2
+
⋯
+
∣
z
n
∣
2
\|\mathbf z\|^2=|z_1|^2+|z_1|^2+\cdots+|z_n|^2
∥z∥2=∣z1∣2+∣z1∣2+⋯+∣zn∣2内积
u
H
v
=
u
ˉ
1
v
1
+
u
ˉ
2
v
2
+
⋯
+
u
ˉ
n
v
n
\mathbf u^H\mathbf v=\bar u_1v_1+\bar u_2v_2+\cdots+\bar u_nv_n
uHv=uˉ1v1+uˉ2v2+⋯+uˉnvn正交
u
H
v
=
0
\mathbf u^H\mathbf v=0
uHv=0
性质：
A
+
B
‾
=
A
‾
+
B
‾
\overline{A+B}=\overline A+\overline B
A+B=A+B
k
A
‾
=
k
ˉ
A
ˉ
\overline{kA}=\bar k \bar A
kA=kˉAˉ
A
B
‾
=
A
ˉ
B
ˉ
\overline{AB}=\bar A\bar B
AB=AˉBˉ
(
A
B
)
H
=
B
H
A
H
(AB)^H=B^HA^H
(AB)H=BHAH内积满足共轭交换率
u
H
v
=
v
H
u
‾
\mathbf u^H\mathbf v=\overline{\mathbf v^H\mathbf u}
uHv=vHuHermitian 矩阵可正交对角化
A
=
P
Λ
P
−
1
=
P
Λ
P
H
A=P\Lambda P^{-1}=P\Lambda P^H
A=PΛP−1=PΛPHHermitian 矩阵的每个特征值都是实数
附录
极大线性无关组
由向量组线性相关的定义，容易得到以下结论：
(1) 向量组线性相关
⟺
\iff
⟺向量组中存在向量能被其余向量线性表示。 (2) 向量组线性无关
⟺
\iff
⟺向量组中任意一个向量都不能由其余向量线性表示。
线性等价：给定两个向量组
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
r
b
1
,
b
2
,
⋯
,
b
s
\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r \\ \mathbf b_1,\mathbf b_2,\cdots,\mathbf b_s
a1,a2,⋯,arb1,b2,⋯,bs 如果其中的每个向量都能被另一个向量组线性表示，则两个向量组线性等价。
例如，向量组
a
,
b
,
a
+
b
\mathbf a,\mathbf b,\mathbf a+\mathbf b
a,b,a+b 与向量组
a
,
b
\mathbf a,\mathbf b
a,b 线性等价。
极大线性无关组：从向量组
A
A
A 中取
r
r
r 个向量组成部分向量组
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
r
\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r
a1,a2,⋯,ar ，若满足
(1) 部分向量组
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
r
\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r
a1,a2,⋯,ar 线性无关 (2) 从
A
A
A 中任取
r
+
1
r+1
r+1个向量组成的向量组 都线性相关。
则称向量组
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
r
\mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_r
a1,a2,⋯,ar 为极大线性无关组(maximum linearly independent group)。极大线性无关组包含的向量个数为向量组的秩。
性质：
(1) 一个向量组的极大线性无关组不一定是惟一的； (2) 一个向量组与它的极大线性无关组是等价的； (3) 一个向量组的任意两个极大线性无关组中包含的向量个数相同，称为向量组的秩(rank)。全由零向量组成的向量组的秩为零； (4) 两个线性等价的向量组的秩相等； (5) 两个等价的向量组生成的向量空间相同。
向量叉积
平面叉积
[
v
1
v
2
]
×
[
w
1
w
2
]
=
det
[
v
1
w
1
v
2
w
2
]
\begin{bmatrix}v_1\\v_2\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}w_1\\w_2\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}v_1 & w_1\\ v_2 & w_2 \end{bmatrix}
[v1v2]×[w1w2]=det[v1v2w1w2] 大小等于
v
,
w
v,w
v,w 围成的平行四边形的面积
三维叉积
[
v
1
v
2
v
3
]
×
[
w
1
w
2
w
3
]
=
det
[
i
v
1
w
1
j
v
2
w
2
k
v
3
w
3
]
\begin{bmatrix}v_1\\v_2\\v_3\end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}w_1\\w_2\\w_3\end{bmatrix}=\det\begin{bmatrix}\mathbf i & v_1 & w_1\\\mathbf j & v_2 & w_2 \\\mathbf k & v_3 & w_3 \end{bmatrix}
v1v2v3
×
w1w2w3
=det
ijkv1v2v3w1w2w3
大小等于
v
,
w
v,w
v,w 围成的平行六面体的体积，方向遵循右手定则。